Livre étudiant – Modélisation numérique du point de bascule

Nous allons modéliser l’évolution d’une population animale (ici la morue) soumise à une exploitation. Cette approche, bien que simplificatrice par certains aspects, met en évidence le phénomène de « seuil/point de bascule ». En effet, nous allons montrer qu’il existe une limite théorique critique au-delà de laquelle notre modèle aboutit irrémédiablement à l’extinction complète de la population, même si la surpêche est diminuée pour contrecarrer la chute de la population.

Le modèle précédent est un cas particulier (pour des valeurs particulières des paramètres) de l'équation différentielle suivante (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Allee):

$$
\dot u =  -ru\left(1-\frac{u}{u_\text{ext}}\right)\left(1-\frac{u}{u_\text{cc}}\right)
\,,
$$

qui vise à modéliser l'évolution de l'effectif une population animale. Les paramètres \(r\), \(u_\text{ext}\), et \(u_\text{cc}\) sont des quantités strictement positives (constantes dans le temps) vérifiant \(0<u_\text{ext}<u_\text{cc}\). La signification des notations est :

• \(r\) pour rate (taux en anglais),
• \(u_\text{ext}\) pour seuil d'extinction (c'est la valeur de l'effectif en-deçà de laquelle la population est trop peu nombreuse pour pouvoir se maintenir, et c'est l'effet dit Allee),
• \(u_\text{cc}\) pour carrying capacity, ou capacité de charge (c'est l'effectif de la population que l'environnement est en mesure d'accueillir durablement).

L'équation étudiée à la première question correspond donc aux valeurs suivantes (arbitraires) pour les trois paramètres : 
 $$
r = 1 
\quad\text{et}\quad 
u_\text{ext} = 1/4 
\quad\text{et}\quad 
u_\text{cc}= 1 
\,.
 $$