Livre étudiant – Modélisation numérique du point de bascule

On considère une équation différentielle de la forme \( \frac{du}{dt} =  \dot u = f(u)\) où \(f\) est une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) donnée, et \(u\) : \(\mathbb R\) → \(\mathbb R\) est la fonction inconnue, de la variable \(t\).

On considère une fonction \(V\) : \(\mathbb R\) → \(\mathbb R\) vérifiant : \(V'(u)\) = \(-f(u)\).

Une telle fonction est qualifiée de potentiel associé à l'équation différentielle, qui peut donc se ré-écrire sous la forme : \( \dot{u} = -V'(u) \). 

Définition

Un point d'équilibre  u_eest qualifié de : 

• stable ou attractif s'il s'agit d'un minimum local de \(V(u)\);
• instable ou répulsif s'il s'agit d'un maximum local de \(V(u)\).

1.Dans chacun des trois cas suivants, déterminer le potentiel \(V(u)\) pour chaque fonction \(f(u)\) donnée.

2.En complétant le code Python donné ci dessous, tracer dans un même repère (pour chaque cas a., b. puis c.) , le graphe de \(f(u)\) et de \(𝑉(𝑢)\) en choisissant la constante d'intégration \(𝐶\) pour que les graphes soient lisibles, et en adaptant la fenêtre graphique pour bien voir les points d'équilibre.

Commandes utiles : plt.grid(True), plt.axis([xmin,xmax,ymin,ymax])

• \(f_1(u)=u-u^2\)
• \(f_2(u)=u-u^3\)
• \(f_3(u)= u^2-u^3\)

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#code à compléter
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(u):
    return         # a compléter
    
def V(u,c):
    return      +c  # a compléter
u = np.linspace(,,)    # a compléter
plt.axis([,,,])      # a compléter
plt.grid(True)  # Affichage de la grille
plt.plot(u,f(u), label = 'fonction f')
plt.plot(u,V(u,0.5), label = 'fonction V')
plt.xlabel("u (population de morues)")
plt.legend();

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