Partie 1 : Quelques solutions technologiques

1.1 Stockage inertiel (Mécanique du solide)

Le stockage inertiel par volant d'inertie consiste à stocker de l'énergie dans des objets lourds (roue ou cylindre) en rotation rapide autour d'un axe.

1.Sous quelle forme est stockée l'énergie dans ce dispositif ? Proposer un système permettant de stocker de l'énergie dans un volant d'inertie ainsi que de la récupérer.

2.Considérons un volant d'inertie de hauteur \(h=1,2m\), de diamètre \(d=68\) cm, de masse \(m=800\) kg tournant à \(\omega= 22500\) tours par minutes autour d'un axe vertical.
Quelle est la quantité d'énergie stockée dans ce volant ?

3.La plus grande ferme à volants d'inertie actuellement posée est capable de stocker \(1,66\) MWh, combien de volants d'inertie du type précédent seraient nécessaires pour réaliser cette ferme ?

4.Une batterie Lithium Fer Phosphate capable de stocker \(5,12\) kWh mesure \(60\times45\times18 cm^3\). Comparer la compacité du stockage par volant d'inertie à celui par batterie.

Charge du volant

Considérons que le volant d'inertie est relié à un moteur dont le rotor a même axe de rotation \(\Delta\) que le volant et pour moment d'inertie \(J_M\). Le volant est initialement immobile et le moteur produit un couple \(\Gamma_M\) afin de mettre en mouvement le volant d'inertie. 

Considérons également un couple de frottement fluide \(\vec \Gamma_f=-\alpha \omega \vec u\) avec \(\alpha\) une constante, \(\omega\) la vitesse angulaire du volant d'inertie et \(\vec u\) le vecteur unitaire dans la direction de l'axe \(\Delta\).

5. Etablir l'équation différentielle vérifiée par \(\omega\) et la résoudre.

6.Donner alors l'expression de la vitesse angulaire limite \(\omega_{lim}\) du volant ainsi que le temps caractéristique \(\tau\) de la charge.

7.Considérons que le moteur fournit un couple \(\Gamma_M=605\) N.m et que le moment d'inertie du rotor du moteur est négligeable devant celui du volant d'inertie. Calculer les valeurs de \(\alpha\) et de \(\tau\)

8.Discuter de l'influence de \(\alpha\) sur le système. Proposer un dispositif permettant de diminuer sa valeur.

Autonomie du volant

Reprenons le dispositif précédent en régime permanent. On éteint le moteur au temps \(t=t_e\) avec \(t_e\gg\tau\). Le couple \(\Gamma_M\) est alors égal à \(0\) et apparait un couple de frottement solide \(\vec \Gamma_s=-\Gamma_s \vec u\). 

9. Exprimer le temps \(\Delta t\) que prendra le volant pour s'immobiliser en fonction de \(\tau\), \(\Gamma_M\) et \(\Gamma_s\).

10. Considérons \(\Gamma_s=4\) N.m, quelle est la valeur de \(\Delta t\). Discuter de l'utilisation des volants d'inertie en tant que stockage énergétique. 

Influence de la géométrie du volant

11. Considérons maintenant un volant d'inertie constitué d'un cylindre creux de hauteur \(h=1,2\) m, de diamètre extérieur \(d_e=68\) cm, de diamètre intérieur \(d_i=42\) cm, de masse \(m_2=495\) kg tournant à \(\omega= 22500\) tours par minutes.
Quelle est la quantité d'énergie stockée dans ce volant ?
La comparer à celle du volant d'inertie précédent.

12. Pour les deux modèles de volants d'inertie, calculer les rapports entre l'énergie et la masse du volant. Quel est le meilleur rapport ? Commentez les possibles applications de ces deux volants.

Données : Le moment d'inertie d'un cylindre de rayon \(r\), hauteur \(h\) et masse volumique \(\rho\) est \(J=\frac{1}{2}\rho \pi r^4h\).